APLICACIONES DE ÁLGEBRA LINEAL
De una empresa que produce elementos arquitectónicos, se tiene la siguiente información: En el producto 1 se gastan 3400 gramos de plástico, 1200 gramos de metal y 800 gramos de madera. En el producto 2 se consumen 1100 gramos de plástico, 900 gramos de metal y 1200 gramos de madera. Para el producto 3 se consumen 800 gramos de plástico, 750 gramos de metal y 600 gramos de madera. Si en una semana a la empresa entraron 960 kilos de plástico, 573 kilos de metal y 540 kilos de madera ¿Cuántos elementos del producto 1, cuántos del producto 2 y cuántos elementos del producto 3 saldrán de la empresa? [Recuerde que un kilo son mil gramos]
De una empresa que produce elementos arquitectónicos, se tiene la siguiente información: En el producto 1 se gastan 3400 gramos de plástico, 1200 gramos de metal y 800 gramos de madera. En el producto 2 se consumen 1100 gramos de plástico, 900 gramos de metal y 1200 gramos de madera. Para el producto 3 se consumen 800 gramos de plástico, 750 gramos de metal y 600 gramos de madera. Si en una semana a la empresa entraron 960 kilos de plástico, 573 kilos de metal y 540 kilos de madera ¿Cuántos elementos del producto 1, cuántos del producto 2 y cuántos elementos del producto 3 saldrán de la empresa? [Recuerde que un kilo son mil gramos]
Producto 1 : 3400 g plástico
1200 g metal
800 g madera
Producto 2: 1100 g plástico
900 g metal
1200 g madera
Producto 3: 800 g plástico
750 g metal
600 g madera
La cantidad consumida es:
750,000 g metal
600,000 g madera
960,000 g plástico
Definimos
X = producto 1
Y = producto 2
Z = producto 3
El sistema de ecuaciones queda de la siguiente manera:
800X + 1.200Y + 600Z = 600.000
3.400X + 1.100Y 800Z = 960.000
1.200X 900Y + 750Z = 750.000
APLICACIONES DE LA INTEGRAL
EJEMPLO 1
Un mecánico perfora un agujero a través del centro de una esfera de metal de 5 pulgadas de radio, como se ve en la figura. El agujero tiene un radio de 3 pulgadas. ¿Cuál es el volumen del anillo resultante?
APLICACIONES DE LA DERIVADA
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
Una de las aplicaciones más comunes del cálculo consiste en hallar máximos y mínimos. Piénsese cuan a menudo oímos o leemos términos como máximo beneficio, mínimo coste, mínimo tie
Sustituyendo en la ecuación del volumen, obtenemos
Pues bien, debemos hacer uso de las derivadas, pero antes vamos a repasar el procedimiento para resolver problemas aplicados de máximos y mínimos.
1. Asignar símbolos a todas las cantidades dadas y a las cantidades a determinar. Si es posible, hágase un dibujo esquemático.
2. Escribir una ecuación primaria para la magnitud que se desea hacer máxima o mínima.
3. Reducir la ecuación primaria a otra que tenga una sola variable independiente. Esto puede exigir el uso de ecuaciones secundarias que relacionen las variables independientes de la ecuación primaria.
4. Determinar el dominio de la ecuación primaria. Esto es, aquellos valores para los que el problema propuesto tenga sentido.
5. Hallar el valor máximo o mínimo por medio de las técnicas de derivación.
a. Nota: al efectuar el paso 5, recuérdese que para determinar el máximo o el mínimo de una función continuaf sobre un intervalo cerrado, comparamos los valores de f en sus extremos relativos con sus valores en los puntos terminales del intervalo.
APLICACIONES DE LA DERIVADA
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
EJEMPLO 1
Se quiere construir una caja abierta con base cuadrada, empleando 108 pulgadas cuadradas de material. ¿Qué dimensiones producirán una caja de volumen máximo?
SOLUCION
 |
V = X2 h ecuación primaria
Además, como está abierta por su parte superior, su área es:
S = (área de la base) + (área de los cuatro laterales)
S = X2 + 4Xh = 108 ecuación segunda
Ya que deseamos maximizar V, la expresaremos como función de una sola variable. Para ello, despejamos h en 108 = X2 + 4Xh en términos de x, es decir
V (0) = 0, V (6) = 108, V ( 10,39
Concluimos que V es máximo cuando x=6, es decir para una caja de dimensiones 6x6x3.
APLICACIONES DE DESIGUALDADES 2
DECISIONES DE FABRICACIÓN
El administrador de una fábrica debe decidir si deberán producir sus propios empaques, que la empresa ha estado adquiriendo de proveedores externos a U.S. $1,10 cada uno. La fabricación de los empaques incrementaría los costos generales de la empresa en U.S. $800 al mes y el costo de material y de mano de obra será de U.S. $0,60 por cada empaque. ¿Cuántos empaques deberá usar la empresa al mes para justificar la decisión de fabricar sus propios empaques?
SOLUCIÓN
Sea x el número de empaques utilizados por la empresa al mes. Entonces el costo de adquirir x empaques a U.S. $ 1,10 cada uno es de 1,10x dólares. El costo de fabricar x empaques es de U.S. $0,60 por empaque más costos generales de U.S. $800 al mes, de modo que el costo total es
0,60x + 800
Para justificar la fabricación de los empaques por la empresa misma, debe ser cierta la desigualdad siguiente.
Costo de adquisición > costo de fabricación
1,10X > 0,60x + 800
1,10x – 0,60x > 800
0,50x > 800
X > 1600
En consecuencia, la empresa debe usar al menos 1601 empaques al mes para justificar el fabricarlos.
Un peluquero atiende un promedio de 100 clientes a la semana y les cobra $5 por corte. Por cada incremento de 75¢ en la tarifa, el peluquero pierde 10 clientes. ¿Qué precio deberá fijar de modo que los ingresos semanales no sean menores de los que el obtiene por la tarifa de $5?
SOLUCIÓN
Sea X el número de incrementos de 75¢ en la tarifa por encima de $5. Entonces el precio por corte es de (5 + 0.75X) dólares y el número de clientes que acuden con esta tarifa será de (100 – 10X) a la semana.
Ingresos totales a la semana = Número de clientes X precios del corte
= (100 – 10X) (5 + 0.75X) dólares
DECISIONES SOBRE FIJACION DE PRECIOS
Los ingresos correspondientes a 100 clientes son de 100 x $5 = $500. Por tanto los nuevos ingresos semanales deberían ser al menos $500 dólares. En consecuencia,
Los ingresos correspondientes a 100 clientes son de 100 x $5 = $500. Por tanto los nuevos ingresos semanales deberían ser al menos $500 dólares. En consecuencia,
(100 – 10X) (5 + 0.75X) ≥ 500
Simplificamos y factorizamos.
500 + 25x –7.5x2 ≥ 500
25x – 7.5x2 ≥ 0
2.5x (10 – 3x) ≥ 0
Dado que x es positiva, podemos dividir ambos lados entre 2.5x con lo que obtenemos
10 – 3x ≥ 0
X ≤ 10/3.
Así debería haber a lo más 10/3 incrementos de 75¢ o $2.50. el peluquero debería cobrar una tarifa máxima de $5 + $2.50 = $7.50 por corte con el objeto de obtener al menos los mismos ingresos que los correspondientes a 100 clientes cobrándoles $5 por corte.
APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
MEZCLAS
La tienda el sol que se especializa en todo tipo de frituras, vende cacahuates a $0.70 la libra y almendras a $1.60 la libra. Al final del mes, el propietario se entera que los cacahuates no se venden bien y decide mezclar cacahuates con almendras para producir una mezcla de 45 libras, que venderá a $1.00 la libra.
¿Cuántas libras de cacahuates y de almendras deberá mezclar para mantener los mismos ingresos?
SOLUCIÓN
Sea x las libras de cacahuates que la mezcla contiene y y las libras correspondientes de almendras. Dado que el peso total es de 45 libras,
X + y = 45
El ingreso de x libras de cacahuate a $0.70 la libra es de 0.7x dólares, y el ingreso de y libras de almendras a $1.60 la libra es de 1.6y dólares. El ingreso obtenido de la mezcla de 45 libras a $1.00 la libra será de $45. Dado que el ingreso de la mezcla deberá ser el mismo que el de las frutas separadas, tenemos la ecuación siguiente.
Ingreso de los cacahuates + ingreso de las almendras = ingreso de la mezcla
0.7x + 1.6y = 45
7x +16y = 450
Libras de cacahuate + libras de almendras = libras de mezcla
X + Y = 45
De esta manera, llegamos al sistema de ecuaciones lineales siguiente.
X + Y = 45
7x +16y = 450
De la primera ecuación, obtenemos que x = 45 – y. luego sustituimos este valor de x en la ecuación de abajo y despejamos y.
7(45 – y) +16y = 450
315 –7y + 16y = 450
9y = 450 -315 =135
Y =15
Por tanto, x = 45 – y = 45 – 15 = 30.
En consecuencia 30 libras de cacahuate deberán mezclarse con 15 libras de almendras para formar la mezcla.
APLICACIONES DE ECUACIONES
Ejemplo
1
Una
máquina de cambiar monedas, cambia los billetes de $1.000 en monedas de $50 y de $20. Si usted recibe
29 monedas, después de introducir un
billete de $1.000, ¿Cuántas monedas de cada tipo recibe?
SOLUCION:
Sean
X
= Numero de monedas de $50
Y = Numero de monedas de
$20
Luego (1)
X + Y = 29
(2) 50X + 20Y = 1.000
Despejamos X en la ecuación (1)
X = 29 – Y
Reemplazamos
X en la ecuación (2)
50(29 – Y) + 20Y = 1.000
1.450 – 50Y +
20Y = 1.000
– 50Y + 20Y = 1.000-1.450
-30Y = -450
Y =
= 15
Si
Y=15 entonces X=14 para que X+Y=29
Comprobamos
50(14)
+20(15) = 700 + 300 = 1.000
APLICACIONES DE ECUACIONES
Ejemplo 2
Un joyero tiene dos barras de aleación de oro; una es de 12 quilates y la otra, de 18 (el oro de 24 quilates es oro puro, el de 12 quilates corresponde a 12/24
¿Cuántos gramos de cada aleación se deben mezclar para obtener 10 gramos de oro de 14 quilates?
SOLUCION:
Sean: X = número de gramos utilizados de oro de 12 quilates
Y = número de gramos utilizados de oro de 18 quilates
X + Y = 10
(12/24) X + (18/24)Y = (14/24)(10)
12( (1/2) X + (3/4)Y) = 7
6X + 9Y = 70
Luego nos quedan dos ecuaciones
(1) X + Y = 10
(2) 6X + 9Y = 70
Despejamos X en la ecuación (1)
X = 10 –Y
Reemplazamos X en la ecuación (2)
6(10 – Y) + 9Y = 70
60 – 6Y + 9Y = 70
-6Y + 9Y = 70 – 60
3Y = 10
Y =10/3 = 3,33
Si X + 3,33= 10
X = 6,66
ANALISIS DEL PUNTO DE EQUILIBRIO
Si el costo total de producción excede al de los ingresos obtenidos por las ventas, entonces el negocio sufre una perdida. Por otra parte, si los ingresos sobrepasan a los costos, existe una utilidad. Si el costo de producción es igual a los ingresos obtenidos por las ventas, no hay utilidad ni pérdida, de modo que el negocio está en el punto de equilibrio. El número de unidades producidas y vendidas en este caso se denomina punto de equilibrio.
EJEMPLO DE ANALISIS DEL PUNTO DE EQUILIBRIO (1)
Para un fabricante de camisas, el costo de mano de obra y de materiales por camisa es de $35.000 y los costos fijos son de $300.000 al día. Si vende cada camisa a $52.000, ¿Cuántas camisas deberá producir y vender cada día para garantizar que el negocio se mantenga en el punto de equilibrio?
SOLUCIÓN.
Sea x el número de camisas producidas y vendidas cada día. El costo total de producir x camisas es
Y = costos variables totales + costos fijos
= 35.000X + 300.000
Dado que cada camisa se vende a $52.000, el ingreso Y por vender X camisas es
Y = 52.000X
El punto de equilibrio se obtiene cuando los ingresos son iguales a los costos, es decir,
52.000X = 35.000X + 300.000
52.000X– 35.000X = 300.000
17.000X = 300.000
X = 300.000 / 17.000 = 300/17 = 17,64
De modo que deberá producir y vender al día, 18 camisas para garantizar que no haya ganancias ni perdidas.
Haciendo P igual a algún valor fijo, esta ecuación determinada otra vez una línea recta en el plano xy, una línea de utilidad constante. Un número de estas líneas aparecen en la figura 2. Todas las líneas correspondientes a diferentes valores de P son paralelas entre sí y se alejan del origen a medida que el valor P aumenta. Por ejemplo, observamos que la línea correspondiente a P = 7200 pasa a través de la región factible, mientras que la línea correspondiente a P = 12.000 no. Es geométricamente obvio que la línea de utilidad constante con el valor más grande de P que intersecta la región factible en la que pasa por la esquina del punto B. Este punto de intersección de las dos líneas rectas.
EJEMPLO DE ANALISIS DEL PUNTO DE EQUILIBRIO (2)
Supóngase que el costo total diario de producir x sillas está dado por
Y = 4.000X + 100.000
a. Si cada silla se vende a $7.000, ¿Cuál es el punto de equilibrio?
b. Si el precio de venta se incrementa a $8.000, ¿Cuál es el nuevo punto de equilibrio?
c. Si se sabe que al menos 50 sillas pueden venderse al día, ¿Cuál será el precio de costo en el punto de equilibrio?
SOLUCIÓN
El costo está dado por Y = 4.000X + 100.000
a. Si cada silla se vende a $7.000, el ingreso obtenido por la venta de X sillas es Y = 7.000X
En el punto de equilibrio tenemos que
7.000X = 4.000X + 100.000
7.000X - 4.000X = 100.000
3.000X = 100.000
X = 100.000/3.000 = 100/3 = 33.33
El punto de equilibrio está en 34 sillas.
b. Si el precio de venta se incrementa a $8.000 por silla, el ingreso en este caso es: Y = 8.000X
Y el punto de equilibrio es: 8.000X = 4.000X + 100.000
8.000X - 4.000X = 100.000
4.000X = 100.000
X = 100.000/4.000 = 100/4 = 25
El punto de equilibrio está en 25 sillas.
c. Sea P el precio fijado a cada silla. Entonces los ingresos obtenidos por la venta de 50 sillas es Y = 50P y el costo de producir 50 sillas es
Y = 4.000(50) + 100.000
Para encontrar el punto de equilibrio tenemos que
50P = 4.000(50) + 100.000
50P = 200.000 + 100.000
50P = 300.000
P = 300.000/50 = 30.000/5 = 6.000
Por lo tanto el precio de costo al fabricar 50 sillas es de $6.000
CONCLUSIÓN
El punto de equilibrio es de:
25 sillas, si se venden a $8.000
34 sillas, si se venden a $7.000
50 sillas, si se venden a $6.000
ANALISIS NO LINEAL DEL PUNTO DE EQUILIBRIO
No siempre hay una relación lineal en los costos de producción, es decir que muchas veces, al aumentar la producción y las ventas aumentan los costos de producción de cada pieza en vez de bajarla.
Es decir, que si estoy produciendo 4.000 piezas de un producto, obteniendo ganancias, y aumento la producción a 4.500 piezas empiezo a tener pérdidas, porque debo contratar otro turno de producción, debo conseguir otro vehículo de transporte más grande o comprar más maquinaria.
EJEMPLO
Una compañía de dulces vende sus cajas de chocolates a $2.000 c/u. si X es el número de cajas producidas a la semana (en miles), entonces el administrador sabe que los costos de producción están dados por
Y = 1.000.000 + 1.300.000X + 100.000X2
Determine el nivel de producción en que la compañía no obtiene ni utilidades ni perdidas. (Punto de equilibrio).
SOLUCIÓN
Los ingresos por vender X miles de cajas a $ 2.000 c/u están dados por
Y = 2.000.000X
Con el objeto de quedar en el punto de equilibrio, los ingresos deben ser iguales a los costos, de modo que
1.000.000 + 1.300.000X + 100.000X2 = 2.000.000X
Dividimos ambos lados por 100.000, entonces queda
10 + 13X + X2 = 20X
X2 + 13X - 20X + 10 = 0
X2 - 7X + 10 = 0
Si factorizamos esta expresión tenemos
(X– 2) (X + 5) = 0
De tal manera que X=2 y X=5
Por lo tanto encontramos que hay dos puntos de equilibrio en este problema, o sea que la compañía no gana ni pierde dinero si produce 2.000 cajas de chocolate o si produce 5.000.
En este ejemplo es conveniente considerar las utilidades de la compañía. La utilidad mensual está dada por los ingresos menos los costos.
U = 2.000.000X – (1.000.000 + 1.300.000X + 100.000X2)
U = – 1.000.000 + 700.000X -100.000X2
U = - 100.000(10 - 7X + X2)
U = -100.000 (X – 2) (X – 5)
Cuando X=2 ó 5, la utilidad es cero y estos son los puntos de equilibrio, cuando 2 < X < 5 tenemos que X - 2& gt; 0 y X – 5 < 0, dado que el producto contiene dos signos negativos, U es positiva en este caso, en consecuencia la compañía obtiene una utilidad positiva cuando 2 < X < 5, es decir cuando fabrica entre 2.000 y 5.000 cajas a la semana.
PUNTO
DE EQUILIBRIO DEL MERCADO
Si
el precio de cierto artículo es demasiado alto, los consumidores no lo
adquirirán, mientras que si es demasiado bajo,
los proveedores no lo venderán. En un mercado competitivo, cuando el
precio por unidad depende solo de la cantidad demandada y de la oferta, siempre
existe una tendencia del precio a ajustarse por sí mismo, de modo que la cantidad demandada por los
consumidores iguale a la cantidad que
los consumidores están dispuestos a ofrecer. Se dice que el punto de equilibrio
del mercado ocurre en un precio cuando la cantidad demandada es igual a la
cantidad ofrecida. Esto corresponde al punto de intersección de las curvas de la oferta y la demanda.
Algebraicamente,
el precio de equilibrio del mercado p0 y la cantidad de equilibrio x0 se determina resolviendo las ecuaciones de la
oferta y la demanda simultáneamente para p y x. nótese que el precio y la
cantidad de equilibrio solo tienen sentido cuando no son negativas.
EJEMPLO
1 PUNTO DE EQUILIBRIO DEL MERCADO
Determine
el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio de las leyes de la oferta y
la demanda siguientes:
D: p = 25 – 2x
S: p = 3x + 5
SOLUCION
Igualando
los dos valores de p en las ecuaciones, tenemos que
3x + 5 = 25 – 2x
Fácilmente
se ve que la solución es x = 4, sustituyendo x = 4 en la primera ecuación, resulta
P = 25 – 8 = 17
En
consecuencia, el precio de equilibrio es
17 y la cantidad de equilibrio es de 4 unidades. Las gráficas de las curvas de
la oferta y la demanda son las siguientes:
APLICACIONES
DE MATRICES
SUMA
DE MATRICES
EJEMPLO
1
MATRIZ
DE PRODUCCIÓN
Una
empresa que fabrica televisores produce tres
modelos con distintas características en tres tamaños diferentes. La capacidad de producción (en miles) en su planta número uno está dada por la matriz A.
(a) ¿Cuál es la capacidad de producción total
en las dos plantas?
(b) ¿si la empresa decide incrementar su producción en la planta número uno en un 20 % . ¿Cuál será la nueva producción
en la planta?
PROGRAMACIÓN LINEAL
OPTIMIZACIÓN LINEAL (ENFOQUE GEOMÉTRICO)
En un problema de programación lineal se requiere encontrar el máximo o mínimo de alguna expresión algebraica cuando las variables de ésta expresión están sujetas a un número de desigualdades lineales. El ejemplo simple siguiente es típico de tales problemas.
EJEMPLO 1 (UTILIDAD MÁXIMA)
Una compañía fabrica dos productos, X y Y. cada uno de estos productos requiere cierto tiempo en la línea de ensamblado y otro tiempo más en el departamento de acabado. Cada artículo del tipo X requiere 5 horas de ensamblado y 2 horas de acabado, mientras que cada artículo del tipo Y requiere 3 horas de ensamblado y 4 horas de acabado. En cualquier semana, la empresa dispone de 105 horas en la línea de ensamblado y 70 horas en el departamento de acabado. La empresa puede vender todos los artículos que produce y obtener una utilidad de $200 por cada artículo de X y $160 por cada artículo de Y. calcule el número de artículos de cada tipo que deberían fabricarse a la semana con objeto de maximizar la utilidad total.
SOLUCIÓN.
Por lo regular es conveniente al manejar problemas de este tipo resumir la información en una tabla.
ENSAMBLADO
|
ACABADO
|
UTILIDAD
| |
X
|
5
|
2
|
200
|
Y
|
3
|
4
|
160
|
DISPONIBILIDAD
|
105
|
70
|
Suponga que la empresa produce x artículos del tipo X a la semana y y artículos del tipo Y a la semana. Entonces el tiempo necesario en la línea de ensamblado será de 5x horas en el caso del producto X y 3y horas para el producto Y, o (5x + 3y) horas en total. Dado que solo se pueden disponer de 105 horas, debemos tener que 5x + 3y ≤ 105.
De manera similar, se requieren 2x horas en el departamento de acabado por cada x artículos del producto X y 4y por cada y artículos del producto Y. el número total de horas, 2x + 4y, no pueden exceder las 70 de que se dispone, de modo que tenemos la segunda condición, 2x + 4y ≤ 70.
Cada artículo del tipo X genera una utilidad de $200, de modo que x artículos producen 200x dólares de utilidad. En forma análoga, y artículos del tipo Y producen 160y dólares de utilidad. Así, la utilidad semanal total P (en dólares) está dada por
P = 200x + 160y.
Por consiguiente, podemos restablecer el problema en los términos siguientes:
Encuentre los valores x y y que maximizan la cantidad P = 200x + 160y cuando x y y están sujetas a las condiciones:
5x + 3y ≤ 105, 2x + 4y ≤ 70, x ≥ 0, y y ≥ 0
Este ejemplo es un problema característico de programación lineal. Tenemos una expresión P = 200x + 160y que es lineal en las variables x y y, y deseamos encontrar el valor máximo de P cuando x y y satisfacen las desigualdades. Un problema más general podría incluir más de dos variables y un número mayor de desigualdades que las cuatro de este ejemplo, pero de cualquier manera este ejemplo es bastante representativo de los problemas del área de programación lineal.
Al analizar cualquier problema de programación lineal, en especial cuando solo intervienen dos variables, con frecuencia es útil un enfoque geométrico.
Consideremos las desigualdades vistas. El conjunto de puntos (x,y) que satisface todas las desigualdades aparece sombreado en la figura 1. Esta región sombreada representa el conjunto de soluciones factibles, esto es, el conjunto de valores de x y y que la empresa puede adoptar. No se puede tomar, cualquier punto (x,y) situado afuera de esta región sombreada.
FIGURA 1
Por ejemplo, consideremos el punto x=12, y=14, el cual está fuera de la región factible. A fin de producir 12 artículos de tipo X y 14 artículos del tipo Y se requerirán 12(5) + 14(3) = 102 horas en la línea de ensamblado y 12(2) + 14(4) = 80 horas en el departamento de acabado. Si bien, esto no excedería las horas disponibles en la línea de ensamblado, si sobrepasa aquellas disponibles en el departamento de acabado; de modo que no está dentro del programa de producción posible.
Consideremos ahora el conjunto de valores x y y que conducen a alguna utilidad fija. Por ejemplo, dado a P el valor 4000, advertimos que x y y deben satisfacer la ecuación.
200x + 160y=4000
Todos los valores de x y y que satisfacen esta ecuación producen una utilidad de $4000 a la semana. Esta es la ecuación de una línea recta que corta el eje x en el punto (20,0) y al eje y en el punto (0,25), como se aprecia en la figura 2. Parte de esta línea pasa por la región de soluciones factibles. Debido a esto, concluimos que le es posible a la empresa lograr una utilidad de 4000 dólares a la semana. Puede realizar esto eligiendo cualquier valor de (x,y) situados en los segmentos AB que aparece en la figura 2.
FIGURA 2
Por otra parte consideremos P=6000. Los valores correspondientes de x y y deben satisfacer 200x + 160y=6000, que otra vez es la ecuación de una línea recta, esta vez corta a los ejes de coordenadas en los puntos (30,0) y (0.37.5). Esta línea recta no pasa por la región sombreada de soluciones factibles (véase la figura 2) y por ello no es posible a la empresa obtener una utilidad tan grande como $6000 a la semana. La utilidad máxima posible debe estar en algún lugar entre $4.000 y $ 6.000 a la semana.
El conjunto de puntos (x,y) que conducen a una utilidad dada P satisfacen la ecuación 200x + 160y=P. esta ecuación, para P fija, tiene como grafico una línea recta en el plano xy llamada línea de utilidad constante o curva de indiferencia . Las dos líneas que aparecen en la figura 2 son líneas de utilidad constante que corresponden a los valores P=4000 y P=6000.
La ecuación de una línea de utilidad constante puede escribirse de la forma
160y = P – 200x
O bien y = - 5 x + P
4 160
Por tanto la línea tiene pendiente -5/4 y ordenada al origen P/160. Es una propiedad importante que la pendiente de cualquier línea de utilidad constante es la misma sin importar el valor de P. Esto significa que todas las líneas de utilidad constante son paralelas entre sí. A medida que el valor de P se incrementa, la línea de utilidad máxima correspondiente se aparta del origen (la ordenada al origen aumenta), siempre con la misma pendiente.
A fin de obtener la utilidad máxima, debemos alejar la línea de utilidad constante del origen hasta que solo toque el extremo de la región de soluciones factibles.
Es claro por la figura 2 que la línea de utilidad máxima es la que pasa por la esquina C situada en la frontera de la solución factible. Los valores de x y y en C dan los volúmenes de producción de los dos productos X y Y que conducen a la utilidad máxima.
El punto C es la intersección de las dos líneas rectas que acotan la región factible. Sus coordenadas se obtienen resolviendo las ecuaciones de estas dos líneas, 5x + 3y = 105 y 2x + 4y = 70. Resolviendo estas ecuaciones, encontramos que x=15 y y=10. Por consiguiente, la utilidad máxima es cuando la empresa produce 15 artículos del tipo X y 10 artículos del tipo Y a la semana. La utilidad semanal máxima está dada por
Pmax = 200x + 460y
= 200(15) + 160(10)
= 4600
La utilidad máxima es por tanto $4.600.
El procedimiento usado en la resolución de este problema también puede emplearse cuando ocurre un número mayor de desigualdades.
Bibliografía: MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN Y A LA ECONOMÍA / Jagdish C. Arya/Robin W, Lardner / Prentice Hall / tercera edición .
EJEMPLO 2
Ejemplo 2
Una empresa de productos químicos produce dos tipos de fertilizantes. Su
marca recular contiene nitratos, fosfatos y potasio en la razón 3:6:1 (en peso)
y su marca súper contiene estos tres ingredientes en la razón 4:3:3. Cada mes
la empresa puede confiar en un suministro de 9 toneladas de nitratos, 13.5
toneladas de fosfatos y 6 toneladas de potasio. Su planta productora puede
elaborar a lo más 25 toneladas de fertilizantes al mes. Si la empresa obtiene
una utilidad de U.S $300 por cada tonelada de fertilizante regular y U.S $480
por cada tonelada del súper, ¿qué cantidades de cada tipo deberá producir
a fin de obtener la máxima utilidad?
SOLUCIÓN
OPTIMIZACIÓN LINEAL - ENFOQUE GEOMÉTRICO
En un problema de programación lineal se requiere encontrar el valor máximo
o mínimo de alguna expresión algebraica cuando las variables de esta expresión
están sujetas a un número desigualdades lineales. El ejemplo simple siguiente
es típico de tales problemas.
La información dada se resume la tabla 1
Tabla 1
|
||||
Nitratos
|
Fosfatos
|
Potasio
|
Utilidad
|
|
Marca regular
|
0.3
|
0.6
|
0.1
|
300
|
Supermarca
|
0.4
|
0.3
|
0.3
|
480
|
Suministros disponibles
|
9
|
13.5
|
6
|
|
Denotemos con X la producción de la
empresa del tipo regular y con Y las toneladas del fertilizante de tipo
súper al mes. Así, como cada tonelada del
tipo regular contiene 0.3 toneladas de nitratos y cada tonelada del tipo súper
contiene 0.4 toneladas de nitratos, la cantidad total de nitratos usada es
0.3X + 0.4Y. Ésta no puede exceder el suministro disponible de 9 toneladas, de
modo que tenemos la condición 0.3X + 0.4Y ≤ 9.
Procediendo de manera similar con Los fosfatos y el potasio, obtenemos las otras dos condiciones, 0.6x +
0.3y ≤ 13.5 y 0.1x + 0.3y ≤ 6.
Además de estas condiciones, existe también la condición de que la
producción total del fertilizante, x + y, no puede exceder la capacidad de la
planta de 25 toneladas, de modo que x +
y ≤ 25. Después de eliminar los decimales, obtenemos el sistema de desigualdades
siguiente que x y y deben satisfacer.
3x + 4y ≤ 90 6x + 3y ≤ 135
X + 3y ≤ 60 x + y ≤ 25
X ≥ 0 y ≥ 0
La región factible satisface todas estas desigualdades
como se aprecia en la figura 1. Es el interior del polígono ABCDEO que
está sombreado.
Cada tonelada de fertilizante produce una utilidad de U.S
$300 por lo que se refiere al tipo regular y U.S $ 480 para el tipo súper. Cuando
los volúmenes de producción son de x y y toneladas al mes, respectivamente la utilidad mensual total P es
P= 300x +480y
Haciendo P igual a algún valor fijo, esta ecuación determinada otra vez una línea recta en el plano xy, una línea de utilidad constante. Un número de estas líneas aparecen en la figura 2. Todas las líneas correspondientes a diferentes valores de P son paralelas entre sí y se alejan del origen a medida que el valor P aumenta. Por ejemplo, observamos que la línea correspondiente a P = 7200 pasa a través de la región factible, mientras que la línea correspondiente a P = 12.000 no. Es geométricamente obvio que la línea de utilidad constante con el valor más grande de P que intersecta la región factible en la que pasa por la esquina del punto B. Este punto de intersección de las dos líneas rectas.
X + 3Y = 60 Y 3X + 4Y =90
Sus coordenadas son x = 6 y y =
18.
Por tanto, concluimos que la utilidad máxima se obtiene
fabricando 6 toneladas del tipo regular y 18 toneladas del tipo súper de
fertilizante al mes. La utilidad máxima está da por
Pmax= 300x +480y
= 300(6) + 480(18)
=
10.440 dólares
Vale la pena notar que la producción que maximiza la
utilidad usa todos los nitratos disponibles así como el potasio, pero no emplea
todos los fosfatos disponibles y además no utiliza toda la capacidad de la
planta. El lector puede encontrar adecuado considerar lo que la empresa haría
(a) si llegara a disponer de más potasio o (b) más
nitratos. Al considerar cuestiones como estas es útil examinar lo que sucedería
con las fronteras de la región factible en los dos casos.
BIBLIOGRAFIA
Matemáticas aplicadas a la
administración y a la economía – tercera edición - Jagdish C. Arya/Robin W.
Lardner – Prentice Hall
Regla de tres compuesta mixta
Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas
por día un muro de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8
horas diarias para realizar los
50 m de muro que faltan?
A más obreros, menos días à Inversa A2/A1
A más horas, menos días
à Inversa B2/B1
A más metros, más días à Directa.
C1/C2
Entonces:
La variable A con respecto a la incógnita es inversa entonces
obtenemos A2/A1
La variable B con respecto a la incógnita es inversa entonces
obtenemos B2/B1
La variable C con respecto a la incógnita es directa
entonces obtenemos C1/C2
Entonces:
Al despejar x decimos entonces:
X=
(8).(6).(50).(9) / (10).(8).(30)= 21600/ 2400 = 9
Regla de tres compuesta directa
Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido
una cantidad de agua por valor de $60000. Averiguar el precio del vertido de 15
grifos abiertos 12 horas durante los mismos días.
Determinar el tipo de relación entre la variable incógnita y
las variables conocidas, es decir:
A más grifos, más pesos à Es
una relación directa.
A más horas, más pesos à Es una relación directa.
Regla de Tres Simple Inversa
Si 8 trabajadores construyen un muro en 15 horas, ¿cuánto
tardarán 5 obreros en levantar el mismo muro?
Solución:
Si se observa con atención el sentido del enunciado,
resulta evidente que cuantos más obreros trabajen, menos horas necesitarán para
levantar el mismo muro (suponiendo que todos trabajen al mismo ritmo).
8
trabajadores . 15 horas = 5 trabajadores . Y horas = 120 horas de trabajo.
El total de horas de trabajo necesarias para levantar el muro
son 120 horas, que pueden ser aportadas por un solo trabajador que emplee 120
horas, 2 trabajadores en 60 horas, 3 trabajadores lo harán en 40 horas, etc. En
todos los casos el número total de horas permanece constante.
Tenemos por tanto una relación de proporcionalidad es
inversa, y deberemos aplicar una regla de tres simple inversa, tenemos:
Este material es muy bueno, muchas garcias a los que dirijen esta página
ResponderEliminareste material me salio super bn pero necesito mas por favir gracias
ResponderEliminareste material me salio super bn pero necesito mas por favir gracias
ResponderEliminarExelente, felicitaciones....me gustaria mas ejercicios de ecuacione de primer grado, ecuaciones en y y operaciones convinadas.
ResponderEliminargracias