LA VIDA DE DIOFANTO

TRES VACAS

NÚMEROS CONSECUTIVOS

PREFIJOS

EMPLEADOS DEL NEGOCIO

Un negocio tenía cierto número de empleados y despidió a 3. La mitad de los empleados que quedan es igual al número de empleados que contratará, y el número de empleados que tenía es 3 veces lo que contratará. Entonces contratará

A. 1 empleado            

B. 2 empleados          

C. 3 empleados          

D. 6 empleados

SOLUCIÓN

El número de empleados que hay al empezar es NE

(NE – 3)/2     es la mitad de los empleados que quedan  o sea el número de empleados que contratará.

Y el número de empleados que tenía  (NE)  es  3 veces lo que contratará

significa que contratará la tercera parte de los que tenía o sea NE/3

Entonces:

Si la mitad de los empleados que quedan   (NE-3)/2  es igual al número de empleados que contratará y esa es la tercera parte de NE

(NE -3)/2 = NE/3

(NE -3) = 2NE/3

3 (NE-3) = 2NE

3NE – 9 = 2NE

3NE – 2NE = 9

NE = 9

Si contrata NE/3  = 9/3 = 3 , La respuesta es la C.

TANQUE EN EL APTO

En un apartamento se tiene un tanque de agua totalmente lleno. En un día se consumió medio tanque de agua; al día siguiente, la cuarta parte de lo que quedaba; el tercer día se consumieron 15 litros de agua, es decir, la tercera parte de lo que quedaba. ¿Cuál es la capacidad del tanque de agua?

A. 15 litros

B. 30 litros

C. 60 litros

D. 120 litros

SOLUCIÓN

Este problema se empieza desde el final.

Si el tercer día se consumieron 15 litros, es decir la tercera parte de lo que quedaba, entonces al empezar el tercer día había 45 litros.

Al segundo día se consumió la cuarta parte  o sea que quedaron 3/4 que son 45 litros y si  45 son las  3/4  entonces al empezar el día había 60 litros (60/4=15  y 15x3 = 45   o sea que 45 es 3/4  de 60).

El primer día se consumió la mitad y quedaron 60, entonces al empezar el día había 120 litros y la respuesta es la D.  

UNA VARILLA DE 84

Una varilla de 84 cm. de longitud está pintada de rojo y negro. La parte roja es 4 cm. menor que la parte negra. La parte negra mide:

  A. 38

B. 26

C. 40

D. 44

SOLUCIÓN

R= Rojo    Y   N = Negro

N = R + 4  (porque “La parte roja es 4 cm. menor que la parte negra”)

N + R = 84

Como me piden el valor de la parte negra (N), entonces despejo R en la primera ecuación, quedando:

R = N – 4

Reemplazo R en la segunda ecuación;

N + (N-4) = 84

2N – 4 = 84

2N = 84 +4 = 88

N=88/2 = 44,  entonces la respuesta es la D. 

LOS 3/4 DE UN TANQUE

Los 3 / 4   de un tanque, con capacidad de 1200 cm3, permanecen llenos durante el invierno, pero el volumen de agua disminuye  2/ 3 durante el verano. Si se espera que el tanque recupere la ocupación que tuvo en el invierno, en 30 días, cada día deberá llenarse

A. 33 cm3

B. 20 cm3

C. 16 cm3

D. 10 cm3

SOLUCIÓN

El volumen constante en el invierno es 3 / 4 de 1200 cm3  o sea 900 cm3

(Porque  1200 x 3 = 3600  y 3600/4 = 900)

El agua disminuye 2/3 (de 900) durante el verano, de manera que disminuye 600 cm (900 x 2 = 1800   y 1800/3  = 600) y para recuperar 600 cm3 en 30 días divido 600/30 = 20, por lo que la respuesta es la B. 

EL LARGO DEL PUENTE

El largo del puente A es 3 veces el largo del puente B. Si las longitudes de ambos puentes suman 120 metros, la longitud del puente más largo es de:

A. 30 m.

B. 40 m.

C. 80 m.

D. 90 m.

SOLUCIÓN

Si A = 3B  y

A + B = 120, me piden el valor de A que es el más largo.

Primero despejo B en la primera ecuación y queda

B = A/3

Reemplazo B en la segunda ecuación.

A + A/3 = 120

(4 A)/3 = 120

4 A = 120 x3 = 360

A = 360/4 = 90, entonces la respuesta es la D. 

LOS 3/5 DE LA MITAD

Los  3/5  de la mitad de mi edad son 12 años.  Entonces, tengo

A. 20 años.

B. 40 años.

C. 60 años.

D. 80 años.

SOLUCIÓN

Cuando decimos los 3/5 de la mitad de algo, nos referimos al producto de

3/5 x 1/2  0 sea  3/10 ( el producto de  los numeradores sobre el producto de los denominadores) (3x1) / (5x2).

Por lo tanto estaremos diciendo que los 3/10 de mi edad son 12 años .

 3/10 (Edad) = 12

El 10 que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar y el 3 que está multiplicando pasa a dividir y queda:

  

Edad = (12x10)/ 3  = 120/3  = 40 y la respuesta es la B.

COLONIA DE BACTERIAS

Si una colonia de bacterias se triplica cada 20 minutos e inicialmente hay 5.000 de ellas, el número de bacterias que hay al término de 3 horas es.

a) 5.000 3³ bacterias

b) 5.000 3⁴ bacterias

c) 5.000 3⁹ bacterias

d) 5.000 3⁶⁰ bacterias

e) 5.000 3¹⁸⁰ bacterias

SOLUCIÓN

Si  cada 20  minutos se triplica el número de bacterias, significa que se multiplica por 3, y en 3 horas hay 9 ciclos de 20 minutos, por lo que quedaría

5.000 x3x3x3 (primera hora) x3x3x3 (segunda hora) x3x3x3 (tercera hora)

Luego esto es:

5000  x 3⁹  y la respuesta es la C. 

GOLOSINAS FIESTA

En una fiesta de cumpleaños hay 237 golosinas para repartir entre 31 niños invitados. ¿Cuál es el número mínimo de golosinas que se necesita agregar para que cada niño invitado reciba la misma cantidad de golosinas, sin que sobre ninguna?

A) 11

B) 20

C) 21

D) 0

E) 7

SOLUCIÓN

237/31 = 7.64

Si les diéramos  de a 7 a cada uno, (7 X 31 = 217)   sobran  20, por lo tanto, para darles 8 a cada uno,  faltan 11, entonces la respuesta es  la A  

Regla de Tres Simple Directa

Regla de Tres Simple Directa

Si con 20 trabajadores se hace 20  muebles, ¿Cuantos  muebles se harán con 10 trabajadores? 

Diremos que X (número de muebles que se harán) será igual al producto de 20 por 10 dividido 20, es decir que 10 trabajadores fabricaran 10 muebles.

Regla de Tres Simple Inversa

Regla de Tres Simple Inversa

Si 8 trabajadores construyen un muro en 15 horas, ¿cuánto tardarán 5 obreros en levantar el mismo muro?

Solución:

Si se observa con atención el sentido del enunciado, resulta evidente que cuantos más obreros trabajen, menos horas necesitarán para levantar el mismo muro (suponiendo que todos trabajen al mismo ritmo).

8 trabajadores . 15 horas = 5 trabajadores . Y horas = 120 horas de trabajo.

El total de horas de trabajo necesarias para levantar el muro son 120 horas, que pueden ser aportadas por un solo trabajador que emplee 120 horas, 2 trabajadores en 60 horas, 3 trabajadores lo harán en 40 horas, etc. En todos los casos el número total de horas permanece constante.

Tenemos por tanto una relación de proporcionalidad es inversa, y deberemos aplicar una regla de tres simple inversa, tenemos:

Regla de tres compuesta directa

Regla de tres compuesta directa

Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de $60000. Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días.

Determinar el tipo de relación entre la variable incógnita y las variables conocidas, es decir:

A más grifos, más pesos à Es una relación directa.

A más horas, más pesos à Es una relación directa.

Regla de tres compuesta inversa

Regla de tres compuesta mixta

JUAN Y MARÍA SON HERMANOS

Juan y María son hermanos, Juan tiene tantos hermanos como hermanas, pero María tiene el doble de hermanos que de hermanas, ¿cuántos chicos y cuántas chicas hay en la familia?

Respuesta 

Si Juan tiene tantos hermanos como hermanas, entonces hay un chico más que las chicas.

Y si María tiene el doble de hermanos que de hermanas, entonces chicos igual a dos veces chicas menos uno.(chicas menos María).

Chicos = O               chicas = A

O=A+1

O=2(A-1)

Entonces     A+1 = 2 A – 2

                        1 + 2 = 2 A – A = A

                        3 = A

Entonces O=4

Por lo tanto hay 4 niños y 3 niñas.

CUADRADO MÁGICO DE EULER

PRODUCTOS QUIMICOS - PROGRAMACION LINEAL

Ejemplo 2

Una empresa de productos químicos produce dos tipos de fertilizantes. Su marca regular contiene nitratos, fosfatos y potasio en la razón 3:6:1 (en peso) y su marca súper contiene estos tres ingredientes en la razón 4:3:3. Cada mes la empresa puede confiar en un suministro de 9 toneladas de nitratos, 13.5 toneladas de fosfatos y 6 toneladas de potasio. Su planta productora puede elaborar a lo más 25 toneladas de fertilizantes al mes. Si la empresa obtiene una utilidad de U.S $300  por cada tonelada de fertilizante regular y U.S $480 por cada tonelada del súper,  ¿qué cantidades de cada tipo deberá producir a fin de obtener la máxima utilidad?

SOLUCIÓN  

                                                                     

OPTIMIZACIÓN LINEAL - ENFOQUE GEOMÉTRICO

En un problema de programación lineal se requiere encontrar el valor máximo o mínimo de alguna expresión algebraica cuando las variables de esta expresión están sujetas a un número desigualdades lineales. El ejemplo simple siguiente es típico de tales problemas.

La información dada se resume la tabla 1

Tabla 1
	Nitratos	Fosfatos	Potasio	Utilidad
Marca regular	0.3	0.6	0.1	300
Supermarca	0.4	0.3	0.3	480
Suministros disponibles	9	13.5	6

Denotemos con X la producción de la empresa del tipo regular y con Y las toneladas  del fertilizante de tipo súper al mes. Así,  como cada tonelada del tipo regular contiene 0.3 toneladas de nitratos y cada tonelada del tipo súper contiene 0.4 toneladas de nitratos, la cantidad total de nitratos usada es 0.3X + 0.4Y. Ésta no puede exceder el suministro disponible de 9 toneladas, de modo que tenemos la condición 0.3X + 0.4Y ≤ 9.

Procediendo de manera similar con Los fosfatos y el potasio,  obtenemos las otras dos condiciones, 0.6x + 0.3y ≤ 13.5 y 0.1x + 0.3y ≤ 6.

Además de estas condiciones, existe también la condición de que la producción total del fertilizante, x + y, no puede exceder la capacidad de la planta de 25 toneladas, de modo que  x + y ≤ 25.  Después de eliminar los decimales, obtenemos el sistema de desigualdades siguiente que x y  y  deben  satisfacer.

3x + 4y ≤ 90     6x + 3y ≤ 135

X + 3y ≤ 60         x + y ≤ 25

      X ≥ 0                 y ≥ 0

La región factible satisface todas estas desigualdades como se aprecia en la figura 1. Es el interior del polígono ABCDEO  que está sombreado.

Cada tonelada de fertilizante produce una utilidad de U.S $300 por lo que se refiere al tipo regular y U.S $ 480 para el tipo súper. Cuando los volúmenes de producción son de x y y  toneladas al mes,  respectivamente la utilidad mensual total P es

P= 300x +480y

Haciendo P igual a algún valor fijo, esta ecuación determinada otra vez una línea recta en el plano xy, una línea de utilidad constante. Un número de estas líneas  aparecen en la figura 2. Todas las líneas correspondientes a diferentes valores de P son paralelas entre sí y se alejan del origen a medida que el valor P aumenta. Por ejemplo, observamos que la línea correspondiente a P = 7200 pasa a través de la región factible, mientras que la línea correspondiente a P = 12.000 no. Es geométricamente obvio que la línea de utilidad constante con el valor más grande de P que intersecta la región factible en la que pasa por la esquina del punto B. Este punto de intersección de las dos líneas rectas.

X + 3Y = 60            Y        3X + 4Y =90

Sus coordenadas son x = 6  y  y = 18.

 

Por tanto,  concluimos que la utilidad máxima se obtiene fabricando 6 toneladas del tipo regular y 18 toneladas del tipo súper de fertilizante al mes. La utilidad máxima está da por

Pmax= 300x +480y

                = 300(6) + 480(18)

             = 10.440 dólares

Vale la pena notar que la producción que maximiza la utilidad usa todos los nitratos disponibles así como el potasio, pero no emplea todos los fosfatos disponibles y además no utiliza toda la capacidad de la planta. El lector puede encontrar adecuado considerar lo que la empresa haría (a) si llegara a disponer de más potasio o (b) más nitratos. Al considerar cuestiones como estas es útil examinar lo que sucedería con las fronteras de la región factible en los dos casos.

               

BIBLIOGRAFIA

Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía – tercera edición - Jagdish C. Arya/Robin W. Lardner – Prentice Hall