APLICACIONES
DE LA DERIVADA
PROBLEMAS
DE OPTIMIZACIÓN
Una de las aplicaciones más comunes del cálculo consiste
en hallar máximos y mínimos. Piense cuan a menudo oímos o leemos
términos como máximo beneficio, mínimo
coste, mínimo tiempo, voltaje máximo, tamaño
óptimo, área mínima, máxima intensidad o distancia máxima.
Pues
bien, debemos hacer uso de las derivadas, pero antes vamos a repasar el procedimiento para resolver
problemas aplicados de máximos y mínimos.
1. Asignar símbolos a todas las cantidades dadas y a las cantidades a determinar. Si es
posible, hágase un dibujo esquemático.
2. Escribir una ecuación primaria para la
magnitud que se desea hacer máxima o mínima.
3. Reducir la ecuación primaria a otra que
tenga una sola variable independiente. Esto puede exigir el uso de ecuaciones
secundarias que relacionen las variables independientes de la ecuación
primaria.
4. Determinar el dominio de la ecuación
primaria. Esto es, aquellos valores para los que el problema propuesto tenga
sentido.
5. Hallar el valor máximo o mínimo por
medio de las técnicas de derivación.
a.
Nota:
al efectuar el paso 5, recuérdese que para determinar el máximo o el mínimo de una función continua
f sobre un intervalo cerrado,
comparamos los valores de f en sus
extremos relativos con sus valores en
los puntos terminales del intervalo.
APLICACIONES
DE LA DERIVADA
PROBLEMAS
DE OPTIMIZACIÓN
EJEMPLO
1
Se
quiere construir una caja abierta con base cuadrada, empleando 108 pulgadas
cuadradas de material. ¿Qué dimensiones producirán una caja de volumen máximo?
SOLUCION
Como la caja tiene base cuadrada, su
volumen es:
V = X2 h
ecuación primaria
Además, como está abierta por su parte
superior, su área es:
S = (área de la base)
+ (área de los cuatro laterales)
S
= X2 + 4Xh = 108 ecuación segunda
Ya
que deseamos maximizar V, la expresaremos como función de una sola variable. Para ello, despejamos h en: 108
= X2 + 4Xh en términos de x,
es decir
Evaluando
V en los puntos críticos del dominio y en los puntos terminales del dominio,
vemos que
V (0) = 0, V (6) = 108,
Concluimos que V es máximo cuando x=6, es decir para una
caja de dimensiones 6x6x3.