ANALISIS NO LINEAL DEL PUNTO DE
EQUILIBRIO
No siempre hay una relación lineal en los costos de
producción, es decir que muchas veces, al aumentar la producción y las
ventas aumentan los costos de producción
de cada pieza en vez de bajarla.
Es decir, que si estoy
produciendo 4.000 piezas de un producto, obteniendo ganancias, y aumento la producción a 4.500 piezas empiezo
a tener pérdidas, porque debo contratar otro turno de producción, debo conseguir otro vehículo de transporte más
grande o comprar más maquinaria.
EJEMPLO
Una compañía de dulces vende
sus cajas de chocolates a $2.000 c/u. si
X es el número de cajas producidas a la semana (en miles), entonces el administrador
sabe que los costos de producción están
dados por
Y = 1.000.000 + 1.300.000X + 100.000X2
Determine el nivel de
producción en que la compañía no obtiene ni utilidades ni perdidas. (Punto de
equilibrio).
SOLUCIÓN
Los ingresos por vender X miles
de cajas a $ 2.000 c/u están dados por
Y = 2.000.000X
Con el objeto de quedar en
el punto de equilibrio, los ingresos
deben ser iguales a los costos, de modo que
1.000.000 + 1.300.000X + 100.000X2
= 2.000.000X
Dividimos ambos lados por 100.000,
entonces queda
10 + 13X + X2 = 20X
X2 + 13X - 20X + 10 = 0
X2 - 7X + 10 = 0
Si factorizamos esta expresión tenemos
(X
– 2) (X + 5) = 0
De tal manera que X=2 y X=5
Por lo tanto encontramos que hay dos
puntos de equilibrio en este problema, o sea que la compañía no gana ni pierde
dinero si produce 2.000 cajas de
chocolate o si produce 5.000.
En este ejemplo es conveniente
considerar las utilidades de la compañía. La utilidad mensual está dada por los
ingresos menos los costos.
U = 2.000.000X – (1.000.000
+ 1.300.000X + 100.000X2)
U = – 1.000.000 + 700.000X -
100.000X2
U = - 100.000(10 - 7X + X2
)
U = -100.000 (X – 2) (X – 5)
Cuando X=2 ó 5, la utilidad es cero y
estos son los puntos de equilibrio, cuando
2 <; X <; 5 tenemos que X - 2 < 0 y X – 5 > 0, dado que el
producto contiene dos signos negativos, U es positiva en este caso, en
consecuencia la compañía obtiene una utilidad positiva cuando
2 < X < 5, es decir cuando fabrica entre 2.000 y 5.000 cajas a la
semana.
