PUNTO DE EQUILIBRIO DEL MERCADO

Si el precio de cierto artículo es demasiado alto, los consumidores no lo adquirirán, mientras que si es demasiado bajo,  los proveedores no lo venderán. En un mercado competitivo, cuando el precio por unidad depende solo de la cantidad demandada y de la oferta, siempre existe una tendencia  del precio a  ajustarse por sí mismo, de  modo que la cantidad demandada por los consumidores iguale a la cantidad  que los consumidores están dispuestos a ofrecer. Se dice que el punto de equilibrio del mercado ocurre en un precio cuando la cantidad demandada es igual a la cantidad ofrecida. Esto corresponde al punto de intersección  de las curvas de la oferta y la demanda.

Algebraicamente, el precio de equilibrio del mercado p₀  y la cantidad de equilibrio  x₀  se determina resolviendo las ecuaciones de la oferta y la demanda simultáneamente para p y x. nótese que el precio y la cantidad de equilibrio solo tienen sentido cuando no son negativas.

EJEMPLO 1 PUNTO DE EQUILIBRIO DEL MERCADO

Determine el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio de las leyes de la oferta y la demanda siguientes:

                        D: p = 25 – 2x

                        S:  p = 3x + 5

SOLUCION

Igualando los dos valores de p en las ecuaciones, tenemos que

                        3x + 5 = 25 – 2x

Fácilmente se ve que la solución es x = 4, sustituyendo x = 4 en la primera  ecuación, resulta

                        P = 25 – 8 = 17

En consecuencia,  el precio de equilibrio es 17 y la cantidad de equilibrio es de 4 unidades. Las gráficas de las curvas de la oferta y la demanda son las siguientes:

DECISIONES SOBRE FIJACIÓN DE PRECIOS

Un peluquero atiende un promedio de 100 clientes a la semana y les cobra $5 por corte. Por cada incremento de 75¢ en la tarifa, el peluquero pierde 10 clientes.  ¿Qué precio deberá fijar de modo que los ingresos semanales no sean menores de los que el obtiene por la tarifa de $5?

SOLUCIÓN

Sea X el número de incrementos de 75¢ en la tarifa por encima de $5. Entonces el precio por corte es de (5 + 0.75X) dólares y el número de clientes que acuden con esta tarifa será de (100 – 10X) a la semana.

             Ingresos totales a la semana =  Número de clientes X precios del corte

                                                               = (100 – 10X) (5 + 0.75X) dólares

Los ingresos correspondientes a 100 clientes son de 100 x $5 = $500. Por tanto los nuevos ingresos semanales  deberían ser al menos $500 dólares. En consecuencia,

                                    (100 – 10X) (5 + 0.75X) ≥ 500

Simplificamos y factorizamos.

                                              500 + 25x – 7.5x² ≥  500

                                                        25x – 7.5x² ≥  0

                    2.5x (10 – 3x) ≥  0

Dado que x es positiva, podemos dividir ambos lados entre 2.5x con lo que obtenemos

                              10 – 3x ≥  0

                                        X ≤ 10/3.

Así debería haber a lo más  10/3 incrementos de  75¢ o $2.50. el peluquero debería cobrar una tarifa máxima de $5 + $2.50 = $7.50 por corte con el objeto de obtener al menos los mismos ingresos que los correspondientes  a 100 clientes cobrándoles $5 por corte.

APLICACIONES DE DESIGUALDADES 2

DECISIONES DE FABRICACIÓN

El administrador de una fábrica debe decidir  si deberán producir sus propios empaques, que la empresa ha estado adquiriendo de proveedores externos a U.S. $1,10 cada uno. La fabricación de los empaques incrementaría  los costos generales de la empresa en  U.S. $800  al mes y el costo de material y de mano de obra  será de U.S. $0,60 por cada empaque. ¿Cuántos empaques deberá usar la empresa al mes para justificar la decisión  de fabricar sus propios empaques?

SOLUCIÓN

Sea x el número de empaques utilizados por la empresa al mes. Entonces el costo de adquirir x empaques  a  U.S. $ 1,10  cada uno es  de 1,10x dólares.  El costo de fabricar x empaques es de U.S. $0,60 por empaque más costos generales de U.S. $800 al mes, de modo que  el costo total es

            0,60x + 800

Para justificar la fabricación de los empaques por la empresa misma, debe ser cierta la desigualdad siguiente.

                     Costo de adquisición > costo de fabricación

                                                  1,10x > 0,60x + 800

     1,10x – 0,60x > 800

                  0,50x > 800

                         X > 1600

En consecuencia,  la empresa debe usar al menos 1601 empaques al mes para justificar el fabricarlos.  

APLICACIONES DE LAS DESIGUALDADES 1

UTILIDADES DEL FABRICANTE

El fabricante de cierto artículo puede vender  todo lo que produce a un precio de U.S. $60 cada artículo. Gasta U.S.  $40 en materia prima y mano de obra al producir cada artículo y tiene costos adicionales (fijos) de U.S. $3.000 a la semana en la operación de la planta. Encuentre el número de unidades que debería producir y vender para obtener una utilidad de al menos U.S. $1.000  a la semana.

SOLUCIÓN.

Sea x el número de artículos producidos y vendidos a la semana. Entonces el costo total  de producir x unidades es de  U.S. $3.000 más U.S. $40 por artículo, lo cual es

(40x + 3.000) dólares

El ingreso por vender x unidades por U.S.$60  cada una será de 60x dólares. Por lo tanto,

  Utilidad = Ingresos – Costos

                = 60x - (40x + 3.000) = 20x – 3.000

Puesto que deseamos obtener una utilidad de al menos  U.S. $1.000 a la semana, tenemos las desigualdades siguientes.

       Utilidad  ≥ 1.000

  20x – 3.000 ≥ 1.000

               20x ≥ 4.000

                   X ≥ 200

En consecuencia el fabricante  deberá producir y vender al menos 200 unidades  cada semana.

ANALISIS NO LINEAL DEL PUNTO DE EQUILIBRIO

ANALISIS NO LINEAL DEL PUNTO DE EQUILIBRIO

No siempre hay  una relación lineal en los costos de producción, es decir que muchas veces, al aumentar la producción y las ventas  aumentan los costos de producción de cada pieza en vez de bajarla.

Es decir, que si estoy produciendo 4.000 piezas de un producto, obteniendo ganancias,  y aumento la producción a 4.500 piezas empiezo a tener pérdidas, porque debo contratar otro turno de producción,  debo conseguir otro vehículo de transporte más grande o comprar más maquinaria.

EJEMPLO

Una compañía de dulces vende sus cajas de chocolates a $2.000  c/u. si X es el número de cajas producidas a la semana (en miles), entonces el administrador sabe que los costos de producción  están dados por

                        Y = 1.000.000 + 1.300.000X + 100.000X²  

Determine el nivel de producción en que la compañía no obtiene ni utilidades ni perdidas. (Punto de equilibrio).

SOLUCIÓN

Los ingresos por vender X miles de cajas a $ 2.000  c/u  están dados por

                        Y = 2.000.000X

Con el objeto de quedar en el punto de equilibrio,  los ingresos deben ser iguales a los costos, de modo que

1.000.000 + 1.300.000X + 100.000X²  =   2.000.000X

Dividimos ambos lados por 100.000, entonces queda

10 + 13X + X²  =   20X

X² + 13X - 20X + 10  =   0

X² - 7X + 10  =   0

Si factorizamos esta expresión tenemos

            (X – 2) (X + 5) = 0

De tal manera que X=2 y X=5

Por lo tanto encontramos que hay dos puntos de equilibrio en este problema, o sea que la compañía no gana ni pierde dinero si produce 2.000  cajas de chocolate o si produce 5.000. 

En este ejemplo es conveniente considerar las utilidades de la compañía. La utilidad mensual está dada por los ingresos menos los costos.

U = 2.000.000X – (1.000.000 + 1.300.000X + 100.000X²)  

U = – 1.000.000 + 700.000X - 100.000X²

U = - 100.000(10 - 7X + X² )

U = -100.000 (X – 2) (X – 5)

Cuando X=2 ó 5, la utilidad es cero y estos son los puntos de equilibrio, cuando  2 <; X <; 5 tenemos que  X - 2 < 0  y X – 5 > 0, dado que el producto contiene dos signos negativos, U es positiva en este caso, en consecuencia la compañía obtiene una utilidad positiva  cuando  2 < X < 5, es decir cuando fabrica entre 2.000 y 5.000 cajas a la semana.

EJEMPLO DE ANALISIS DEL PUNTO DE EQUILIBRIO (2)

EJEMPLO DE ANALISIS DEL  PUNTO DE EQUILIBRIO (2)

Supóngase que el costo total diario de producir x sillas está dado por

Y = 4.000X + 100.000

a.    Si cada silla se vende a  $7.000, ¿Cuál es el punto de equilibrio?

b.    Si el precio de venta se incrementa a $8.000, ¿Cuál es el nuevo punto de equilibrio?

c.    Si se sabe que al menos 50 sillas pueden venderse al día, ¿Cuál será el precio de costo en el punto de equilibrio?

SOLUCIÓN

El  costo está dado por               Y = 4.000X + 100.000

a.    Si cada silla se vende a $7.000, el ingreso obtenido por la venta de X sillas es                               Y = 7.000X

En el punto de equilibrio tenemos que

                                                7.000X = 4.000X + 100.000

7.000X - 4.000X = 100.000

3.000X =  100.000

X = 100.000/3.000 = 100/3 = 33.33

El punto de equilibrio está en 34 sillas.

b.    Si el precio de venta se incrementa a $8.000 por silla, el ingreso en este caso es:             Y = 8.000X

Y el punto de equilibrio es:  8.000X = 4.000X + 100.000

8.000X - 4.000X = 100.000

4.000X = 100.000

X = 100.000/4.000  = 100/4 = 25

El punto de equilibrio está en 25 sillas.

c.    Sea  P el precio fijado a cada silla. Entonces los ingresos obtenidos por la venta de 50 sillas es  Y = 50P y el costo de producir  50 sillas es

Y = 4.000(50) + 100.000

Para encontrar el punto de equilibrio  tenemos que

50P =  4.000(50) + 100.000

50P =  200.000 + 100.000

50P =  300.000

P = 300.000/50 = 30.000/5 = 6.000

Por lo tanto el precio de costo al fabricar 50 sillas es de $6.000

CONCLUSIÓN

El punto de equilibrio es de:

                                    25 sillas, si se venden a  $8.000

34 sillas, si se venden a  $7.000

50 sillas, si se venden a  $6.000

ANALISIS DEL PUNTO DE EQUILIBRIO

ANALISIS DEL  PUNTO DE EQUILIBRIO

Si el costo total de producción excede al de los ingresos obtenidos por las ventas, entonces el negocio sufre una perdida. Por otra parte, si los ingresos sobrepasan a los costos, existe una utilidad.  Si el costo de producción es igual a los ingresos obtenidos por las ventas, no hay utilidad ni pérdida, de modo que el negocio está en el punto de equilibrio. El número de unidades producidas y vendidas en este caso se denomina punto de equilibrio.

EJEMPLO DE ANALISIS DEL  PUNTO DE EQUILIBRIO (1)                                      

Para un fabricante de camisas, el costo de mano de obra y de materiales por camisa  es de $35.000 y los costos fijos son de  $300.000 al día. Si vende cada camisa a $52.000, ¿Cuántas camisas deberá producir y vender cada día para garantizar que el negocio se mantenga en el punto de equilibrio?

SOLUCIÓN.

Sea x el número de camisas producidas y vendidas cada día. El costo total de producir x camisas es

Y = costos variables totales  + costos fijos

   = 35.000X + 300.000

Dado que cada camisa se vende a  $52.000, el ingreso Y por vender X camisas es

Y =  52.000X

El punto de equilibrio se obtiene  cuando los ingresos son iguales a los costos, es decir,

52.000X = 35.000X + 300.000

52.000X – 35.000X = 300.000

17.000X = 300.000

X = 300.000 / 17.000 = 300/17 = 17,64

De modo que deberá producir y vender al día, 18 camisas para garantizar que no haya ganancias ni perdidas.