Ejemplo 2
Una empresa de productos químicos produce dos tipos de fertilizantes. Su
marca regular contiene nitratos, fosfatos y potasio en la razón 3:6:1 (en peso)
y su marca súper contiene estos tres ingredientes en la razón 4:3:3. Cada mes
la empresa puede confiar en un suministro de 9 toneladas de nitratos, 13.5
toneladas de fosfatos y 6 toneladas de potasio. Su planta productora puede
elaborar a lo más 25 toneladas de fertilizantes al mes. Si la empresa obtiene
una utilidad de U.S $300 por cada tonelada de fertilizante regular y U.S $480
por cada tonelada del súper, ¿qué cantidades de cada tipo deberá producir
a fin de obtener la máxima utilidad?
SOLUCIÓN
OPTIMIZACIÓN LINEAL - ENFOQUE GEOMÉTRICO
En un problema de programación lineal se requiere encontrar el valor máximo
o mínimo de alguna expresión algebraica cuando las variables de esta expresión
están sujetas a un número desigualdades lineales. El ejemplo simple siguiente
es típico de tales problemas.
La información dada se resume la tabla 1
Tabla 1
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Nitratos
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Fosfatos
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Potasio
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Utilidad
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Marca regular
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0.3
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0.6
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0.1
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300
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Supermarca
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0.4
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0.3
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0.3
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480
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Suministros disponibles
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9
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13.5
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6
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Denotemos con X la producción de la
empresa del tipo regular y con Y las toneladas del fertilizante de tipo
súper al mes. Así, como cada tonelada del
tipo regular contiene 0.3 toneladas de nitratos y cada tonelada del tipo súper
contiene 0.4 toneladas de nitratos, la cantidad total de nitratos usada es
0.3X + 0.4Y. Ésta no puede exceder el suministro disponible de 9 toneladas, de
modo que tenemos la condición 0.3X + 0.4Y ≤ 9.
Procediendo de manera similar con Los fosfatos y el potasio, obtenemos las otras dos condiciones, 0.6x +
0.3y ≤ 13.5 y 0.1x + 0.3y ≤ 6.
Además de estas condiciones, existe también la condición de que la
producción total del fertilizante, x + y, no puede exceder la capacidad de la
planta de 25 toneladas, de modo que x +
y ≤ 25. Después de eliminar los decimales, obtenemos el sistema de desigualdades
siguiente que x y y deben satisfacer.
3x + 4y ≤ 90 6x + 3y ≤ 135
X + 3y ≤ 60 x +
y ≤ 25
X ≥ 0
y ≥ 0
La región factible satisface todas estas desigualdades
como se aprecia en la figura 1. Es el interior del polígono ABCDEO que
está sombreado.
Cada tonelada de fertilizante produce una utilidad de U.S
$300 por lo que se refiere al tipo regular y U.S $ 480 para el tipo súper. Cuando
los volúmenes de producción son de x y y toneladas al mes, respectivamente la utilidad mensual total P es
P= 300x +480y
Haciendo P igual a algún valor fijo, esta ecuación determinada otra vez una
línea recta en el plano xy, una línea de utilidad constante. Un número de
estas líneas aparecen en la figura 2. Todas
las líneas correspondientes a diferentes valores de P son paralelas entre sí y
se alejan del origen a medida que el valor P aumenta. Por ejemplo, observamos que
la línea correspondiente a P = 7200 pasa a través de la región factible,
mientras que la línea correspondiente a P = 12.000 no. Es geométricamente obvio
que la línea de utilidad constante con el valor más grande de P que intersecta
la región factible en la que pasa por la esquina del punto B. Este punto de
intersección de las dos líneas rectas.
X + 3Y = 60 Y 3X + 4Y =90
Sus coordenadas son x = 6 y y =
18.
Por tanto, concluimos que la utilidad máxima se obtiene
fabricando 6 toneladas del tipo regular y 18 toneladas del tipo súper de fertilizante
al mes. La utilidad máxima está da por
Pmax= 300x +480y
=
300(6) + 480(18)
=
10.440 dólares
Vale la pena notar que la producción que maximiza la
utilidad usa todos los nitratos disponibles así como el potasio, pero no emplea
todos los fosfatos disponibles y además no utiliza toda la capacidad de la
planta. El lector puede encontrar adecuado considerar lo que la empresa haría
(a) si llegara a disponer de más potasio o (b) más
nitratos. Al considerar cuestiones como estas es útil examinar lo que sucedería
con las fronteras de la región factible en los dos casos.
BIBLIOGRAFIA
Matemáticas aplicadas a la administración
y a la economía – tercera edición - Jagdish C. Arya/Robin W. Lardner – Prentice
Hall
