DECISIONES SOBRE FIJACIÓN DE PRECIOS

Un peluquero atiende un promedio de 100 clientes a la semana y les cobra $5 por corte. Por cada incremento de 75¢ en la tarifa, el peluquero pierde 10 clientes.  ¿Qué precio deberá fijar de modo que los ingresos semanales no sean menores de los que el obtiene por la tarifa de $5?

SOLUCIÓN

Sea X el número de incrementos de 75¢ en la tarifa por encima de $5. Entonces el precio por corte es de (5 + 0.75X) dólares y el número de clientes que acuden con esta tarifa será de (100 – 10X) a la semana.

             Ingresos totales a la semana =  Número de clientes X precios del corte

                                                               = (100 – 10X) (5 + 0.75X) dólares

Los ingresos correspondientes a 100 clientes son de 100 x $5 = $500. Por tanto los nuevos ingresos semanales  deberían ser al menos $500 dólares. En consecuencia,

                                    (100 – 10X) (5 + 0.75X) ≥ 500

Simplificamos y factorizamos.

                                              500 + 25x – 7.5x² ≥  500

                                                        25x – 7.5x² ≥  0

                    2.5x (10 – 3x) ≥  0

Dado que x es positiva, podemos dividir ambos lados entre 2.5x con lo que obtenemos

                              10 – 3x ≥  0

                                        X ≤ 10/3.

Así debería haber a lo más  10/3 incrementos de  75¢ o $2.50. el peluquero debería cobrar una tarifa máxima de $5 + $2.50 = $7.50 por corte con el objeto de obtener al menos los mismos ingresos que los correspondientes  a 100 clientes cobrándoles $5 por corte.

APLICACIONES DE DESIGUALDADES 2

DECISIONES DE FABRICACIÓN

El administrador de una fábrica debe decidir  si deberán producir sus propios empaques, que la empresa ha estado adquiriendo de proveedores externos a U.S. $1,10 cada uno. La fabricación de los empaques incrementaría  los costos generales de la empresa en  U.S. $800  al mes y el costo de material y de mano de obra  será de U.S. $0,60 por cada empaque. ¿Cuántos empaques deberá usar la empresa al mes para justificar la decisión  de fabricar sus propios empaques?

SOLUCIÓN

Sea x el número de empaques utilizados por la empresa al mes. Entonces el costo de adquirir x empaques  a  U.S. $ 1,10  cada uno es  de 1,10x dólares.  El costo de fabricar x empaques es de U.S. $0,60 por empaque más costos generales de U.S. $800 al mes, de modo que  el costo total es

            0,60x + 800

Para justificar la fabricación de los empaques por la empresa misma, debe ser cierta la desigualdad siguiente.

                     Costo de adquisición > costo de fabricación

                                                  1,10x > 0,60x + 800

     1,10x – 0,60x > 800

                  0,50x > 800

                         X > 1600

En consecuencia,  la empresa debe usar al menos 1601 empaques al mes para justificar el fabricarlos.  

APLICACIONES DE LAS DESIGUALDADES 1

UTILIDADES DEL FABRICANTE

El fabricante de cierto artículo puede vender  todo lo que produce a un precio de U.S. $60 cada artículo. Gasta U.S.  $40 en materia prima y mano de obra al producir cada artículo y tiene costos adicionales (fijos) de U.S. $3.000 a la semana en la operación de la planta. Encuentre el número de unidades que debería producir y vender para obtener una utilidad de al menos U.S. $1.000  a la semana.

SOLUCIÓN.

Sea x el número de artículos producidos y vendidos a la semana. Entonces el costo total  de producir x unidades es de  U.S. $3.000 más U.S. $40 por artículo, lo cual es

(40x + 3.000) dólares

El ingreso por vender x unidades por U.S.$60  cada una será de 60x dólares. Por lo tanto,

  Utilidad = Ingresos – Costos

                = 60x - (40x + 3.000) = 20x – 3.000

Puesto que deseamos obtener una utilidad de al menos  U.S. $1.000 a la semana, tenemos las desigualdades siguientes.

       Utilidad  ≥ 1.000

  20x – 3.000 ≥ 1.000

               20x ≥ 4.000

                   X ≥ 200

En consecuencia el fabricante  deberá producir y vender al menos 200 unidades  cada semana.