Compartimos problemas de aptitud numérica resueltos como los de acceso al sector público mediante pruebas del CNSC, tipo ICFES, aplicaciones matemáticas, curiosidades, software libre,aspectos juridicos y todo lo que se relacione con las matemáticas y el interés de los docentes. Comparte con tus amigos este blog.
viernes, 28 de junio de 2013
Regla de tres compuesta inversa
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Regla de tres compuesta mixta
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viernes, 14 de junio de 2013
JUAN Y MARÍA SON HERMANOS
Juan y María son hermanos, Juan tiene tantos
hermanos como hermanas, pero María tiene el doble de hermanos que de hermanas,
¿cuántos chicos y cuántas chicas hay en la familia?
Respuesta
Si Juan tiene tantos hermanos como hermanas, entonces
hay un chico más que las chicas.
Y si María tiene el doble de hermanos que de
hermanas, entonces chicos igual a dos veces chicas menos uno.(chicas menos
María).
Chicos = O
chicas = A
O=A+1
O=2(A-1)
Entonces A+1
= 2 A – 2
1
+ 2 = 2 A – A = A
3
= A
Entonces O=4
Por lo tanto hay 4 niños y 3 niñas.
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miércoles, 12 de junio de 2013
domingo, 26 de mayo de 2013
PRODUCTOS QUIMICOS - PROGRAMACION LINEAL
Ejemplo 2
Una empresa de productos químicos produce dos tipos de fertilizantes. Su
marca regular contiene nitratos, fosfatos y potasio en la razón 3:6:1 (en peso)
y su marca súper contiene estos tres ingredientes en la razón 4:3:3. Cada mes
la empresa puede confiar en un suministro de 9 toneladas de nitratos, 13.5
toneladas de fosfatos y 6 toneladas de potasio. Su planta productora puede
elaborar a lo más 25 toneladas de fertilizantes al mes. Si la empresa obtiene
una utilidad de U.S $300 por cada tonelada de fertilizante regular y U.S $480
por cada tonelada del súper, ¿qué cantidades de cada tipo deberá producir
a fin de obtener la máxima utilidad?
SOLUCIÓN
OPTIMIZACIÓN LINEAL - ENFOQUE GEOMÉTRICO
En un problema de programación lineal se requiere encontrar el valor máximo
o mínimo de alguna expresión algebraica cuando las variables de esta expresión
están sujetas a un número desigualdades lineales. El ejemplo simple siguiente
es típico de tales problemas.
La información dada se resume la tabla 1
Tabla 1
|
||||
Nitratos
|
Fosfatos
|
Potasio
|
Utilidad
|
|
Marca regular
|
0.3
|
0.6
|
0.1
|
300
|
Supermarca
|
0.4
|
0.3
|
0.3
|
480
|
Suministros disponibles
|
9
|
13.5
|
6
|
Denotemos con X la producción de la
empresa del tipo regular y con Y las toneladas del fertilizante de tipo
súper al mes. Así, como cada tonelada del
tipo regular contiene 0.3 toneladas de nitratos y cada tonelada del tipo súper
contiene 0.4 toneladas de nitratos, la cantidad total de nitratos usada es
0.3X + 0.4Y. Ésta no puede exceder el suministro disponible de 9 toneladas, de
modo que tenemos la condición 0.3X + 0.4Y ≤ 9.
Procediendo de manera similar con Los fosfatos y el potasio, obtenemos las otras dos condiciones, 0.6x +
0.3y ≤ 13.5 y 0.1x + 0.3y ≤ 6.
Además de estas condiciones, existe también la condición de que la
producción total del fertilizante, x + y, no puede exceder la capacidad de la
planta de 25 toneladas, de modo que x +
y ≤ 25. Después de eliminar los decimales, obtenemos el sistema de desigualdades
siguiente que x y y deben satisfacer.
3x + 4y ≤ 90 6x + 3y ≤ 135
X + 3y ≤ 60 x +
y ≤ 25
X ≥ 0
y ≥ 0
La región factible satisface todas estas desigualdades
como se aprecia en la figura 1. Es el interior del polígono ABCDEO que
está sombreado.
Cada tonelada de fertilizante produce una utilidad de U.S
$300 por lo que se refiere al tipo regular y U.S $ 480 para el tipo súper. Cuando
los volúmenes de producción son de x y y toneladas al mes, respectivamente la utilidad mensual total P es
P= 300x +480y
Haciendo P igual a algún valor fijo, esta ecuación determinada otra vez una línea recta en el plano xy, una línea de utilidad constante. Un número de estas líneas aparecen en la figura 2. Todas las líneas correspondientes a diferentes valores de P son paralelas entre sí y se alejan del origen a medida que el valor P aumenta. Por ejemplo, observamos que la línea correspondiente a P = 7200 pasa a través de la región factible, mientras que la línea correspondiente a P = 12.000 no. Es geométricamente obvio que la línea de utilidad constante con el valor más grande de P que intersecta la región factible en la que pasa por la esquina del punto B. Este punto de intersección de las dos líneas rectas.
X + 3Y = 60 Y 3X + 4Y =90
Sus coordenadas son x = 6 y y =
18.
Por tanto, concluimos que la utilidad máxima se obtiene
fabricando 6 toneladas del tipo regular y 18 toneladas del tipo súper de fertilizante
al mes. La utilidad máxima está da por
Pmax= 300x +480y
=
300(6) + 480(18)
=
10.440 dólares
Vale la pena notar que la producción que maximiza la
utilidad usa todos los nitratos disponibles así como el potasio, pero no emplea
todos los fosfatos disponibles y además no utiliza toda la capacidad de la
planta. El lector puede encontrar adecuado considerar lo que la empresa haría
(a) si llegara a disponer de más potasio o (b) más
nitratos. Al considerar cuestiones como estas es útil examinar lo que sucedería
con las fronteras de la región factible en los dos casos.
BIBLIOGRAFIA
Matemáticas aplicadas a la administración
y a la economía – tercera edición - Jagdish C. Arya/Robin W. Lardner – Prentice
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viernes, 24 de mayo de 2013
APTITUD NUMÉRICA EL TRIPLE DE LA SUMA
El triple de la suma de dos números es
63, y el número mayor es 6 veces el menor. Entonces,
el número
mayor es
A. 9
B. 18
C. 27
D. 42
Número mayor
K
Número menor
L
3(K+L) = 63 (El triple de la suma de dos números es
63)
K + L = 63/3 = 21
K + L = 21
K = 6L (el número mayor es 6 veces el menor)
Reemplazo
6L + L = 21
7L = 21
L = 3
Entonces K = 18 y la respuesta es la B
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miércoles, 22 de mayo de 2013
CURIOSIDADES NUMERO CICLICO
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viernes, 17 de mayo de 2013
CONSUMO DE FRUTAS CON DIAGRAMAS DE VENN
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jueves, 16 de mayo de 2013
APTITUD NUMÉRICA CIUDADES
Carlos conoce el triple de ciudades que Jairo, y le ha gustado la cuarta
parte de ellas.
A Jairo le agrada la mitad de ciudades que le gustan a Carlos, esto es 3. Por lo tanto, Jairo conoce:
A.
4 ciudades.
B.
8 ciudades.
C.
16 ciudades.
D.
32 ciudades.
Si a Jairo le gustan 3 ciudades, a Carlos le gustan 6.
Si 6 es la cuarta parte de lo conoce Carlos, entonces Carlos
conoce 24.
Si 24 es el triple de las que conoce Jairo entonces Jairo conoce 8
ciudades y la respuesta es la B.
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jueves, 9 de mayo de 2013
PROGRAMACIÓN LINEAL - OPTIMIZACIÓN LINEAL
PROGRAMACIÓN
LINEAL
OPTIMIZACIÓN
LINEAL (ENFOQUE GEOMÉTRICO)
En un problema de programación lineal se
requiere encontrar el máximo o mínimo de alguna expresión algebraica cuando las variables de ésta
expresión están sujetas a un número de desigualdades lineales. El ejemplo
simple siguiente es típico de tales problemas.
EJEMPLO 1 (UTILIDAD MÁXIMA)
Una compañía fabrica dos productos, X y
Y. cada uno de estos productos requiere cierto tiempo en la línea de ensamblado
y otro tiempo más en el departamento de acabado. Cada artículo del tipo X requiere 5
horas de ensamblado y 2 horas de
acabado, mientras que cada artículo del tipo Y requiere 3 horas de ensamblado y
4 horas de acabado. En cualquier semana, la empresa dispone de 105 horas en la
línea de ensamblado y 70 horas en el
departamento de acabado. La empresa puede vender todos los artículos que
produce y obtener una utilidad de $200 por cada artículo de X y $160 por cada
artículo de Y. calcule el número de artículos de cada tipo que deberían
fabricarse a la semana con objeto de
maximizar la utilidad total.
SOLUCIÓN.
Por lo regular es conveniente al manejar
problemas de este tipo resumir la
información en una tabla.
ENSAMBLADO
|
ACABADO
|
UTILIDAD
|
|
X
|
5
|
2
|
200
|
Y
|
3
|
4
|
160
|
DISPONIBILIDAD
|
105
|
70
|
Suponga que la empresa produce x
artículos del tipo X a la semana y y artículos del tipo Y a la semana. Entonces
el tiempo necesario en la línea de ensamblado será de 5x horas en el caso del producto X y 3y horas para el producto Y, o (5x + 3y) horas en total. Dado que solo se
pueden disponer de 105 horas, debemos tener que 5x + 3y ≤ 105.
De manera similar, se requieren 2x horas
en el departamento de acabado por cada x
artículos del producto X y 4y por cada y artículos del producto Y. el número
total de horas, 2x + 4y, no pueden exceder las 70 de que se dispone, de modo
que tenemos la segunda condición, 2x + 4y ≤ 70.
Cada artículo del tipo X genera una
utilidad de $200, de modo que x
artículos producen 200x dólares de utilidad. En forma análoga, y artículos del
tipo Y producen 160y dólares de utilidad. Así, la utilidad semanal total P (en dólares) está dada por
P = 200x + 160y.
Por consiguiente, podemos restablecer el
problema en los términos siguientes:
Encuentre los valores x y y que
maximizan la cantidad P = 200x + 160y
cuando x y y están sujetas a las condiciones:
5x + 3y ≤ 105, 2x + 4y ≤ 70, x ≥ 0, y y
≥ 0
Este ejemplo es un problema característico de programación lineal. Tenemos una expresión P = 200x + 160y que es lineal en las variables x y y, y
deseamos encontrar el valor máximo de P cuando x y y satisfacen las
desigualdades. Un problema más general podría incluir más de dos variables y un número mayor de desigualdades que las
cuatro de este ejemplo, pero de cualquier manera este ejemplo es bastante
representativo de los problemas del área de programación lineal.
Al analizar cualquier problema de
programación lineal, en especial cuando solo intervienen dos variables, con
frecuencia es útil un enfoque geométrico.
Consideremos las desigualdades vistas.
El conjunto de puntos (x,y) que satisface todas las desigualdades aparece
sombreado en la figura 1. Esta región sombreada representa el conjunto de soluciones factibles, esto es, el
conjunto de valores de x y y que la empresa puede adoptar. No se puede tomar,
cualquier punto (x,y) situado afuera de esta región sombreada.
FIGURA 1
Por ejemplo, consideremos el punto x=12,
y=14, el cual está fuera de la región factible. A fin de producir 12 artículos de tipo X y 14 artículos del tipo Y se requerirán 12(5) + 14(3) = 102 horas en la
línea de ensamblado y 12(2) + 14(4) = 80 horas en el departamento de acabado.
Si bien, esto no excedería las horas disponibles en la línea de ensamblado, si
sobrepasa aquellas disponibles en el departamento de acabado; de modo que no
está dentro del programa de producción posible.
Consideremos ahora el conjunto de
valores x y y que conducen a alguna utilidad fija. Por ejemplo, dado a P el
valor 4000, advertimos que x y y deben satisfacer la ecuación.
200x +
160y=4000
Todos los valores de x y y que
satisfacen esta ecuación producen una utilidad de $4000 a la semana. Esta es la
ecuación de una línea recta que corta el eje x
en el punto (20,0) y al eje y en
el punto (0,25), como se aprecia en la figura 2. Parte de esta línea pasa por
la región de soluciones factibles. Debido
a esto, concluimos que le es posible a la empresa lograr una utilidad de 4000 dólares
a la semana. Puede realizar esto eligiendo cualquier valor de (x,y) situados en los segmentos AB que aparece en la figura 2.
FIGURA 2
Por otra parte consideremos P=6000. Los valores
correspondientes de x y y deben satisfacer 200x + 160y=6000, que otra vez es la
ecuación de una línea recta, esta vez
corta a los ejes de coordenadas en los puntos (30,0) y (0.37.5). Esta línea
recta no pasa por la región sombreada de soluciones factibles (véase la figura
2) y por ello no es posible a la empresa obtener una utilidad tan grande como
$6000 a la semana. La utilidad máxima posible debe estar en algún lugar entre $4.000
y $ 6.000 a la semana.
El conjunto de puntos (x,y) que conducen
a una utilidad dada P satisfacen la ecuación 200x + 160y=P. esta ecuación, para
P fija, tiene como grafico una línea recta en el plano xy llamada línea de utilidad constante o curva
de indiferencia . Las dos líneas que aparecen en la figura 2 son líneas de utilidad constante que
corresponden a los valores P=4000 y P=6000.
La ecuación de una línea de utilidad
constante puede escribirse de la forma
160y = P – 200x
O
bien y = - 5 x + P
4
160
Por tanto
la línea tiene pendiente -5/4 y ordenada al origen P/160. Es una propiedad
importante que la pendiente de cualquier línea
de utilidad constante es la misma sin importar el valor de P. Esto significa que todas las líneas de
utilidad constante son paralelas entre sí. A medida que el valor de P se
incrementa, la línea de utilidad máxima correspondiente
se aparta del origen (la ordenada al origen aumenta), siempre con la misma
pendiente.
A fin
de obtener la utilidad máxima, debemos alejar la línea de utilidad constante
del origen hasta que solo toque el
extremo de la región de soluciones
factibles.
Es claro
por la figura 2 que la línea de utilidad máxima es la que pasa por la esquina C
situada en la frontera de la solución factible.
Los valores de x y y en C dan los volúmenes
de producción de los dos productos X y Y que conducen a la utilidad máxima.
El punto C es la intersección de las dos
líneas rectas que acotan la región
factible. Sus coordenadas se obtienen resolviendo las ecuaciones de estas dos líneas,
5x + 3y = 105 y 2x + 4y = 70. Resolviendo estas ecuaciones,
encontramos que x=15 y y=10. Por consiguiente, la utilidad máxima es cuando la
empresa produce 15 artículos del tipo X y 10 artículos del tipo Y a la semana. La
utilidad semanal máxima está dada por
Pmax = 200x
+ 460y
= 200(15) + 160(10)
= 4600
La
utilidad máxima es por tanto $4.600.
El procedimiento
usado en la resolución de este problema también
puede emplearse cuando ocurre un número mayor de desigualdades.
Bibliografía: MATEMATICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACION Y A LA ECONOMIA
/ Jagdish C. Arya/Robin W, Lardner /
Prentice Hall / tercera edición .
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