De una empresa que produce elementos arquitectónicos,

De una empresa que produce elementos arquitectónicos, se tiene la siguiente información: En el producto 1 se gastan 3400 gramos de plástico, 1200 gramos de metal y 800 gramos de madera. En el producto 2 se consumen 1100 gramos de plástico, 900 gramos de metal y 1200 gramos de madera. Para el producto 3 se consumen 800 gramos de plástico, 750 gramos de metal y 600 gramos de madera. Si en una semana a la empresa entraron 960 kilos de plástico, 573 kilos de metal y 540 kilos de madera ¿Cuántos elementos del producto 1, cuántos del producto 2 y cuántos elementos del producto 3 saldrán de la empresa? [Recuerde que un kilo son mil gramos]

Producto 1 :       3400 g plástico

                           1200 g metal

    800 g madera

Producto 2:        1100 g plástico

                           900 g metal

                           1200 g madera

Producto 3:        800 g plástico

                           750 g metal

                           600 g madera

La cantidad consumida es:

750,000 g metal

600,000 g madera

960,000 g plástico

Definimos

X = producto 1

Y = producto 2

Z = producto 3

El sistema de ecuaciones queda de la siguiente manera:

800X + 1.200Y + 600Z = 600.000

3.400X + 1.100Y  800Z = 960.000

1.200X  900Y + 750Z = 750.000

ANALISIS NO LINEAL DEL PUNTO DE EQUILIBRIO

ANALISIS NO LINEAL DEL PUNTO DE EQUILIBRIO

No siempre hay  una relación lineal en los costos de producción, es decir que muchas veces, al aumentar la producción y las ventas  aumentan los costos de producción de cada pieza en vez de bajarla.

Es decir, que si estoy produciendo 4.000 piezas de un producto, obteniendo ganancias,  y aumento la producción a 4.500 piezas empiezo a tener pérdidas, porque debo contratar otro turno de producción,  debo conseguir otro vehículo de transporte más grande o comprar más maquinaria.

EJEMPLO

Una compañía de dulces vende sus cajas de chocolates a $2.000  c/u. si X es el número de cajas producidas a la semana (en miles), entonces el administrador sabe que los costos de producción  están dados por

                        Y = 1.000.000 + 1.300.000X + 100.000X²  

Determine el nivel de producción en que la compañía no obtiene ni utilidades ni perdidas. (Punto de equilibrio).

SOLUCIÓN

Los ingresos por vender X miles de cajas a $ 2.000  c/u  están dados por

                        Y = 2.000.000X

Con el objeto de quedar en el punto de equilibrio,  los ingresos deben ser iguales a los costos, de modo que

1.000.000 + 1.300.000X + 100.000X²  =   2.000.000X

Dividimos ambos lados por 100.000, entonces queda

10 + 13X + X²  =   20X

X² + 13X - 20X + 10  =   0

X² - 7X + 10  =   0

Si factorizamos esta expresión tenemos

            (X – 2) (X + 5) = 0

De tal manera que X=2 y X=5

Por lo tanto encontramos que hay dos puntos de equilibrio en este problema, o sea que la compañía no gana ni pierde dinero si produce 2.000  cajas de chocolate o si produce 5.000. 

En este ejemplo es conveniente considerar las utilidades de la compañía. La utilidad mensual está dada por los ingresos menos los costos.

U = 2.000.000X – (1.000.000 + 1.300.000X + 100.000X²)  

U = – 1.000.000 + 700.000X - 100.000X²

U = - 100.000(10 - 7X + X² )

U = -100.000 (X – 2) (X – 5)

Cuando X=2 ó 5, la utilidad es cero y estos son los puntos de equilibrio, cuando  2 <; X <; 5 tenemos que  X - 2 < 0  y X – 5 > 0, dado que el producto contiene dos signos negativos, U es positiva en este caso, en consecuencia la compañía obtiene una utilidad positiva  cuando  2 < X < 5, es decir cuando fabrica entre 2.000 y 5.000 cajas a la semana.